Ensembles finis Exemples

$y = 4 x^{2} + 6 x + 9$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 4 x^{2} + 6 x + 9$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{2} + 6 x + 9 = 0$ .

$4 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Étape 1.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.3

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 6$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.3

Soustrayez $144$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.4

Réécrivez $- 108$ comme $- 1 (108)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (108)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.7

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.4.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $144$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $- 108$ comme $- 1 (108)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (108)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.1.7

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.5.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.5.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $144$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $- 108$ comme $- 1 (108)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (108)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.1.7

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.6.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.6.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.2.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.2.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.3

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 4 {(0)}^{2} + 6 (0) + 9$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{2} + 6 (0) + 9$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 {(0)}^{2} + 6 (0) + 9$

Étape 2.2.3

Simplifiez $4 {(0)}^{2} + 6 (0) + 9$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 4 \cdot 0 + 6 (0) + 9$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 + 6 (0) + 9$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 9$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.3.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 9$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$y = 9$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 9)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 9)$

Étape 4